Bài tập Toán Lớp 5 - Các dạng bài toán, và phương pháp giải về phân số

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 5 - Các dạng bài toán, và phương pháp giải về phân số

1. Các dạng bài toán, và phương pháp giải. Sau khi tìm hiểu kĩ về nội dung, phân phối chương trình của lớp 4, 5, ta có thể chia thành các dạng bài sau. - Dạng bài về cấu tạo phân số - Dạng bài về so sánh và sắp xếp phân số - Dạng bài về rèn kĩ năng 4 phép tính phân số. - Dạng bài về giải toán có lời văn điển hình về Phân số A. Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số Một số kiến thức cần lưu ý a 1. Để kí hiệu phân số có tử số bằng a, mẫu số bằng b(với a, b êN và ≠ 0),ta viết b Mẫu số b chỉ phần bằng nhau được chia ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần được lấy đi a Phân số còn hiểu là thương của phép chia a : b ( còn dấu gạch ngang của phân số là dấu b chỉ phép chia) 2. Mọi số tự nhiên a đều có thể coi là một phân số có mẫu số bằng 1. a 15 20 a = và có mẫu số khác nhau 5 = = 1 3 4 3. Phân số a/b có: a> b → phân số > 1 a< b → phân số < 1 a= b → phân số = 1 4. Nếu nhân hoặc chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho một số tự nhiên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho. 5. Phân số không rút gọn được nữa gọi là phân số tối giản, phân số có mẫu số là 10, 100,1000 gọi là phân số thập phân. 6. Nếu cộng cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số hoặc trừ cả tử và mẫu số đi cùng một số thì giữa tử số và mẫu số không thay đổi, 7. Quy đồng mẫu số các phân số: 1
2. a. Quy đồng mẫu số các phân số là làm cho các phân số ấy cùng mẫu số chung mà giá trị của chúng không thay đổi. b. Muốn quy đồng mẫu số các phân số, ta làm như sau: Bước 1: Tìm mẫu số chung Bước 2 : Chia mẫu số chung cho từng mẫu số để tìm thừa số phụ Bước 3 : Lần lượt nhân cả tử số và mẫu số của từng phân số với thừa số phụ tương ứng. c. Ba cách tìm mẫu số chung : Quy tắc 1 : Nhân tất cả mẫu số với nhau Quy tắc 2 : Nếu mẫu số lớn nhất chia hết cho các mẫu số khác thì lấy luôn mẫu số lớn nhất đó làm mẫu số chung Quy tắc 3 : Đem mẫu số lớn nhất lần lượt nhân với 2, 3, 4, cho đến khi tích chia hết cho các mẫu số còn lại thì lấy tích đó làm mẫu số chung. Sau khi tóm tắt các kiến thức, tôi đưa các ví dụ và hướng dẫn học sinh cách giải từng loại bài : I. Loại bài : Rút gọn phân số : 1. Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 6 3 VD: Rút gọn phân số cùng chia cả tử số và mẫu số cho 2 8 4 2. Chia dần từng bước hoặc gộp các bước (theo quy tắc chia một số cho một tích) 132 VD: Rút gọn phân số 204 132 132 : 2 66 66 : 2 33 33 :3 11 , , 204 204 : 4 102 102 : 2 51 51:3 17 133 11 Vậy 204 17 132 132 :12 11 Hoặc gộp: vì 2 x 2 x 3 = 12 nên 204 204 :12 17 3. Dùng cách thử chọn theo các bước: 26 VD: Rút gọn phân số 65 Bước 1: 26 : 13 = 2 2
3. Bước 2: 65 : 13 = 5 Bước 3: Cùng chia cho 13 26 26 :13 2 65 65 :13 5 aa ax11 abab abx101 4. Phân số có dạng đặc biệt: , aaaa ax111 ababab abx10101 222 2 Rút gọn các phân số sau: (cùng chia tử số và mẫu số cho 111) 333 3 VD2: Rút gọn các phân số: 1 1 3 3 a. 1 4 4 2 Bước 1: 1133 : 11 = 103 Bước 2: 1442 : 14 = 103 Bước 3: Chia cả tử số và mẫu số cho 103 1133 1133 :103 11 1442 1442 :103 14 1999 9 b. (100 chữ số 9 ở tử số và 100 chữ số 9 ở mẫu số) 9999 95 Ta nhận xét: 99 .95 = 5 x 19999 9 (100 chữ số 9) 1999 9 1 Vậy 9999 95 5 II. Loại bài : Tìm số chưa biết khi thêm bớt tử số và mẫu số : Vận dụng tính chất ở mục 6 phần những kiến thức cần lưu ý, ta có ví dụ sau : 17 VD1 : Cho phân số . Tìm 1 số tự nhiên sao cho bớt một số tự nhiên đó ở tử số 28 và thêm số đó vào mẫu số ta được 1 phân số mới. Rút gọn phân số mới, ta được phân số 1 tối giản . 4 Giải Khi bớt 1 số tự nhiên ở tử số và thêm số đó vào mẫu số thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó là không thay đổi Tổng của tử số và mẫu số của phân số đó là: 17 + 18 = 45 3
4. Ta có sơ đồ: ? TS mới: ? 45 MS mới: Tử số mới là: 45 : (1 + 4) x 1 = 9 Số tự nhiên cần tìm là: 17 - 9 =8 Đáp số : 8 33 VD2 : Cho phân số phải cùng bớt đi ở tử số và mẫu số với số nào để được phân 21 5 số mới có giá trị là ? 3 Giải Tương tự như ví dụ 1 nhưng lưu ý : khi bớt ở cả tử số và mẫu số của cùng một phân số với 1 số tự nhiên khác 0 thì hiệu giữa tử số và mẫu số không thay đổi. Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đã cho là: 33 - 21 = 12 HS giải và tìm được số tự nhiên cần tìm là: 21 - 18 = 3 Đáp số: 3 III. Loại bài: Tìm phân số ban đầu: VD1: Tìm 1 phân số biết rằng nếu nhân tử số của phân số với 2 và giữ nguyên mẫu 7 số thì ta được 1 phân số mới hơn phân số ban đầu là . 36 Gợi ý: Khi ta nhân 1 phân số với số tự nhiên, ta chỉ việc nhân tử số của phân số với số tự nhiên đó và giữ nguyên mẫu số. Vậy nhân tử số của phân số với 2 , giữ nguyên mẫu số tức là ta gấp phân số đó lên 2 lần. Bài toán được chuyển về dạng: tìm 2 số biết hiệu và tỉ số. Giải Nếu nhân tử số của phân số với 2 và giữ nguyên mẫu số thì ta được phân số mới gấp 2 lần phân số ban đầu. Ta có sơ đồ sau: 7 Phân số ban đầu: 36 Phân số mới: 4
5. 7 Phân số ban đầu là: : (2 - 1) = 36 7x2 7 7 Thử lại: 36 36 36 Tương tự với bài: chia mẫu số của phân số với a và giữ nguyên tử số thì ta giảm số chia đi 3 lần hay giá trị của phân số đó gấp lên 3 lần. Do đó phân số mới gấp 3 lần phân số ban đầu, bài toán đưa về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỷ. B. Dạng hai : So sánh phân số Một số kiến thức cần lưu ý 1. Khi so sánh 2 phân số - Có cùng mẫu số, ta so sánh 2 tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. - Không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi so sánh như trên. 2. Các phương pháp thường dùng khi so sánh 2 phân số - So sánh 2 phấn số cùng mẫu ( như mục 1) - Nếu 2 phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì phân số đó sẽ lớn hơn. a c c e a e - So sánh qua một phân số trung gian: và thì b d d f b f - So sánh 2 “phần bù” với 1 của mỗi phân số: a c a c 1 1 thì b d b d - So sánh 2 phần “lớn hơn” với 1 của mỗi phân số: a c a c 1 1 thì b d b d - So sánh bằng sơ đồ đoạn thẳng - So sánh bằng cách nhân tử số và mẫu số của phân số kia, so sánh rồi rút ra kết luận suy ra a x d < c x d - So sánh bằng cách rút gọn phân số 5
6. - So sánh phân số nghịch đảo a c b d a c 1: 1: hay thì b d a c b d c. Dạng 3: Thực hành 4 phép tính trên phân số: Một số kiến thức cần lưu ý: 1. Phép cộng: - Muốn cộng 2 phân số cùng mẫu số, ta cộng tử số với tử số, giữ nguyên mẫu số (tương tự với phép trừ phân số) - Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số của chúng, sau đó cồng tử số với tử số và giữ nguyên mẫu số. a c a d b c b d b d 2. Phép trừ: tương tự như phép cộng 3. Phép nhân, phép chia: như SGK 4. Các tính chất của phép tính trên phân số: a c c a a. Tính chất giao hoán: b d d b a c c a b d d b b. Tính chất kết hợp: a c e a c e a c e a c e và b d f b d f b d f b d f c. Tính chất phân phối: a c e a c a e b d f b d b f d.Một số nhân với một hiệu: a c e a c a e b d f b d b f e. Tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ: a c m a m c m : : : b d n b n d n 6
7. a c m a m c m : : : b d n b n d n Một số loại toán: a Loại 1: Viết phân số (a, b N và 0 < a < b) dưới dạng tổng của các phân số có tử số là 1, b mẫu số khác nhau. VD: Hãy viết các phân số sau dưới dạng tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau 13 5 6 ; ; ; 35 12 35 Giải 13 5 7 1 5 7 1 1 1 1 35 35 35 35 35 7 5 35 5 5 4 1 4 1 1 1 Tương tự với có 12 12 12 12 12 3 12 6 5 1 5 1 1 1 35 35 35 35 7 35 Loại 2: Tính tổng của phân số: * Bài: 2 thừa số ở mẫu hơn kém nhau 1 đơn vị: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 1 =1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 7 1 6 =1 7 7 1 1 1 1 1 1 n 1 n n Tổng quát: 1 1 2 2 3 3 4 4 5 n (n 1) n 1 n 1 n 1 *Bài : Thừa số ở mẫu hơn kén nhau 2 đơn vị: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 VD: tính tổng: = 1 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 3 3 5 5 7 7 9 9 11 1 10 =1 11 11 *Bài 3: Mẫu số của số hạng sau gấp đôi , gấp 3 số hạng đứng trước: 7
8. 1 1 1 1 1 1 VD: Tính tổng:a) S = 1 3 9 27 81 243 279 1 1 1 1 1 Ta có: S x 3 = 3 1 3 9 27 81 243 1 Vậy S x 3 - S = 3 729 2 1 8 6 2186 1093 S x 2 = suy ra S = : 2 729 729 729 1 1 1 1 1 1 b) S = 4 8 16 32 64 128 1 Cộng thêm vào biểu thức đã cho, có: 2 1 1 1 1 1 1 1 1 S + = 2 2 4 8 16 32 64 128 1 1 3 1 Nhận xét: 1 2 4 4 4 1 1 1 7 1 1 2 4 8 8 8 1 127 S + = 1 128 128 127 1 127 64 63 S = 128 2 128 128 d. Dạng 4: Các dạng toán có lời văn điển hình: Loại 1: Tìm tỉ số của 2 số: Loại 2: Tìm 1 phân số của một số: 1 VD: Ba người chia nhau 720 ngàn đồng. Người thứ nhất được số tiền, người thứ hai được 6 3 số tiền, còn lại bao nhiêu của người thứ 3. Tính số tiền của người thứ 3. 8 Giải Phân số chỉ số tiền của người thứ ba là: 1 3 11 1 (tổng số tiền) 6 8 24 11 Số tiền của người thứ 3 là: 720 330 (ngàn) 24 8
9. Đáp số: 330 ngàn Loại 3: Tìm 1 số khi biết giá trị một phân số của số ấy Loại 4: Tìm các số biết tổng và tỉ số của chúng Loại 5: Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của chúng Loại 6: Tìm số trung bình cộng VD: Tìm 4 phân số tối giản biết rằng: 5 - Trung bình cộng của số thứ 1 và thứ 2 là 12 19 - Trung bình cộng của số thứ 2, số thứ 3 và số thứ 1 là 36 1 4 3 11 - Trung bình cộng của cả 4 số là và số đầu kém số trung bình cộng của 2 số cuối là đơn 20 40 vị Giải 5 10 Tổng của hai số đầu là: 2 (1) 12 12 19 19 Tổng của 3 số đầu là: 3 (2) 36 12 143 143 Tổng của 4 số là: 4 240 60 Từ (1) và (2), ta thấy số thứ 3 là: 19 10 48 4 12 12 60 5 Từ (2) và (3), ta thấy số cuối là: 3 4 31 : 2 4 5 40 31 11 20 1 Số đầu là: 40 10 40 2 10 1 4 1 Theo (1), số thứ 2 là: 12 2 12 3 1 1 3 4 Đáp số: ; ; ; 2 3 4 5 Loại 7: Làm tròn phân số thành đơn vị: 9
10. 5 VD: Cô Tư bán tấm vải theo giá 20 000đ/mét lãi 200 000đồng. Hôm nay cô Tư bán phần 8 còn lại của tấm vải theo giá 18 000 đồng/mét thì lãi 90 000đồng. Hỏi tấm vải dài bao nhiêu mét? Giải (Làm tròn: Hôm nào cũng bán hết cả một tấm vải) 8 5 3 Hôm sau bán được: (tấm vải) 8 8 8 Nếu hôm qua bán được cả tấm thì lãi 5 200.000 : = 320.000 ( đồng) 8 Nếu hôm nay bán được cả tấm thì lãi 3 90.000 : = 240.000 ( đồng ) 8 Vậy hôm qua lãi nhiều hơn hôm nay là 320.0 - 240.000 = 80.000 ( đồng) Mỗi mét hôm qua bán lãi hơn hôm nay là 20.000 - 18.000 = 2.000 ( đồng) Tấm vải dài : 80.000 : 2.000 = 40 ( mét ) Đáp số 40 (mét) Loại 8 Giả thiết tạm về phân số Loại 9: Loại khử về phân số 2 3 VD: Cả đàn trâu bò có tất cả 50 con. Biết rằng nếu đem số trâu và số bò gộp lại thì 5 4 được 27 con. Hỏi số trâu và số bò? Giải Ta có : Trâu + Bò = 50 (1) 2 3 Trâu + Bò = 27 (2) 5 4 2 Muốn khử số trâu, ta nhân 2 vế của (1) với thì thấy 5 10
11. 2 2 Trâu + Bò = 20 ( 3 ) 5 5 2 3 Trâu + Bò = 27 (4) 5 4 Đem cả hai vế của (4) trừ 2 vế của (3) ta có 3 2 Bò = 27 - 20 = 7 4 5 3 2 7 7 Vì = nên ta có số Bò là 7 con 4 5 20 20 Vậy số Bò là 7 : = 20 ( Con) Số Trâu là : 50 - 20 = 30 ( Con) Đáp số :Trâu 30 Con, Bò 20 Con Loại 10. Tính ngược về phân số 2 7 VD. Tìm 1 số biết rằng nếu đem số đó chia cho 3 được bao nhiêu trừ đi thì còn 7 2 Giải 2 3 - 7 A B C 7 Biết C = ta có thể đi ngược lại để tìm a bằng cách đảo ngược các phép tính - bằng + : 3 2 thành x 3 như sau 154 53   4 4 2 3 + 7 11